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2項定理のこと

 2項定理には何かがあるのだけど、まだ良く分からない。 

 ・2項定理の解説
 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86

 

 「分ける・詰め込む・塗り分ける」(How to cut a cake: and other Mathematical Conundrums)に、2項定理によってでて来るパスカルの三角形の中に出現する、シェルピンスキのガスケットという図形について興味深い事例が紹介されている。

 ・パスカルの三角形をどんどん大きくすると、奇数の割合がいくらでも0に近づく。
 ・いかなるmで割っても、二項係数はほとんどすべてが割り切れる。

 つまりnCkで現れる、組み合わせ数はほぼ常に偶数であるということだ。
 
 さらに、「ハノイの塔」というゲームで評価される「シェルピンスキのガスケット」の二点間の距離の平均は、(466/855)2n乗に近づく。2点をランダムに選んだときの分散は、904808318/14448151575 だ。

 「そして、紙を用意して、正三角形の頂点にあたる場所に三点、A、B、Cを打つ。適当な場所に点を打ち、そこを点Xの最初の位置に決める。頂点A、B、Cのいずれかを、それぞれ1/3の確率で選ぶ。…選んだ頂点とXを結んだときの中間の場所に点を打ち、そこをXの新しい位置にする。以降も同じ手順を繰り返す。つまり、A、B、Cの一つをランダムに選び、その頂点と現在のXの中間にXを移動させ、その新しい位置を記録する。やがて、打たれた点によって雲のような姿が浮かび上がってくる。…少数の例外を除けば、そに現れる形状は、なんとシェルピンスキのガスケットではないか!
 …この現象はフラクタルの「自己相似」の性質によってもたらされる…シェルピンスキのガスケットは、自分自身と相似の三つの図形で構成され、それぞれの部分の大きさはもとの図形の半分だ。もとの図形の各点を、A、B、Cのそれぞれと結んだときの中点は、かならず三つの部分それぞれの点になる。そして、Xがどこに動くのかを決める規則は全くのランダムウォークそのものだ。バーンズリーの証明によれば、この規則でどんなランダムウォークをおこなっても、確率1でシェルピンスキのガスケットに「収束」する。」

 つまり、nCkで評価される組み合わせのパターン数が、必ずシェルピンスキのガスケットの中に現れているということだ。
 どの組み合わせ現象も、このガスケットの三角形の中をさかのぼることで、元のパターンに収束していくということを意味している。組み合わせ現象は、常にその前の組み合わせ現象の中に含まれるということを意味している可能性がある。

 ちょっと飛躍してるかも知れないけど、ランダムな現象に見える、組み合わせの問題はすべて、同じ組み合わせの現象に還元できるということなんじゃないかな。あれ、本当かな・・・。


 ・参考
 https://9579fdbd8a4b3dfed4751496966cc098db30c06e-www.googledrive.com/host/0BwbWHZPjW9DQLWNxWUdYOFhqZGM/2013-04-23.pdf